固有ベクトルと固有空間の違いを徹底解説！中学生にもわかるやさしい数学入門

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はじめに：固有ベクトルと固有空間の違いを理解する基本の考え方

固有ベクトルとは、ある正方行列Aをかけても向きが変わらず、ただ大きさだけが変わる特別なベクトルのことです。具体的には Av = λv という式で表され、λは固有値と呼ばれます。これを日常の感覚に置き換えると、風向きがまったく同じで風の強さだけが変わる矢印のようなものと考えるとつかみやすいです。
固有ベクトルを1つだけ探すことは、ある意味“においのする方向を見つける”作業に似ています。次に登場する固有空間は、この方向を含む“ずっと続く直線や面”の集合だと考えると理解が深くなります。

固有空間とは、ある固有値に対応するすべての固有ベクトルの集合のことです。厳密には固有ベクトルを含むがゼロベクトルは含まれませんが、同じ固有値に対してはその方向をずっと並べた線や平面が固有空間となります。つまり固有空間は方向の集合そのものを指す概念であり、向きは変わらずても長さや他のベクトルとの関係は変わる可能性がある、というニュアンスがあります。
この二つを区別することが大事で、固有ベクトルは個別の矢印、固有空間はそれらが集まって形成する空間そのものと覚えると整理しやすいです。

さらに重要な点として、実世界の問題では必ずしもすべての行列が実数の固有ベクトルを持つわけではありません。とくに回転行列のようなケースでは実数解が現れず、複素数の世界でしか意味を持たないこともあります。実数解が出るのは対称行列や特定の条件を満たす行列が多いです。この点を押さえておくと、理論と現実のギャップを感じずに済みます。

実例と直感で分かる、固有ベクトルと固有空間の具体的な違い

実際の例を使うと理解が進みます。例えば A = [[2,0],[0,3]] という対角行列を考えます。ここで固有値は 2 と 3、対応する固有ベクトルはそれぞれ (1,0) および (0,1) です。これらのベクトルは互いに直交しており、Aを掛けると 2倍と3倍になって向きはそのまま、長さだけが変わります。具体的には A(1,0) = (2,0) であり、 A(0,1) = (0,3) です。
固有空間としては、λ=2のときは直線の集合 {t(1,0) | t in R}、λ=3のときは直線の集合 {t(0,1) | t in R} がそれぞれの固有空間となります。これを別の言い方で言えば、Aが働いても方向が変わらない道筋が固有空間です。

この考え方をもう少し広げると、行列の性質を分解して見るときにとても役立つと分かります。例えば対称行列なら固有値は実数で、固有空間は互いに直交することが多く、行列を直交成分に分解する直交分解の道具として使えます。これはデータを効率よく処理したり、図形の変形を直感的に理解するのに大きな手助けになります。
したがって固有ベクトルは個別の矢印、固有空間はその矢印が集まって形作る空間という二つの視点を切り替えられると、線形代数の問題がぐんと見通しやすくなります。

able> 項目 固有ベクトル 固有空間 定義 Av = λv を満たす個別の方向ベクトル 同じ λ を共有する全ベクトルの集合 形状の特徴 1本の矢印の方向 直線や平面などの部分空間 次元の関係 1つのベクトルとして扱う 複数のベクトルを含む可能性がある ble>

このように固有ベクトルと固有空間はお互いを補完する概念です。1つの固有ベクトルはその方向を指し示しますが、固有空間はその方向を取り巻く空間全体を表します。問題の性質によっては、特定の固有値に対応する固有空間が何次元あるかが成否を分けることもあります。

ピックアップ解説

ある日、友達と数学の話をしていて、固有ベクトルと固有空間の違いについて雑談をしていました。友達Aが「固有ベクトルってただの1本の矢印でしょ？それに対して固有空間ってそんな矢量が集まった空間だよね」と言い、友達Bは少し混乱して「じゃあ同じ固有値 λ を持つ矢先だけを集めたものが固有空間？」と尋ねました。私は「そう。考え方を変えると理解が深まるんだ」と返しました。そこでAが“この方向の矢印だけを見つける作業”が固有ベクトル、Bが“その方向を含むすべてのベクトルの集合”が固有空間だと例え話をしました。具体的な例として対角行列を挙げ、λ=2の固有空間は x 軸、λ=3の固有空間は y 軸の直線だと説明しました。会話の中で、固有ベクトルは個別の矢印、固有空間はその矢印が生まれる空間全体であることがぴたりと腑に落ち、二つを使い分けることの大切さを感じました。
最後に友達は「複素数の世界では実数の固有ベクトルが出ないこともあるんだね」とつぶやき、私たちは現実の問題ではどのケースで実数解が現れるかを気にするようになりました。こうした日常の雑談こそ、難解な概念をわかりやすくするコツだと実感しました。

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