単位行列と対角行列の違いを徹底解説｜中学生にも分かる図解と例で理解する方法

---

はじめに：単位行列と対角行列の基本を押さえよう

ここでは、単位行列と対角行列の違いを、図解や例を使って中学生にも分かるように丁寧に解説します。数学の学習では、これらの概念を正しく理解することが、後の行列の演算や応用問題を解く鍵になります。まずは「行列とは何か」という広い視点から考えます。行列は数字を長方形に並べたものです。取り扱う演算は「掛け算」や「足し算」、場合によっては転置と逆行列など多岐にわたります。その中で、単位行列と対角行列は、演算の基準点となる性質を持っています。

本稿のポイントは三つです。第一に、単位行列はかけ算の単位元の役割を果たします。第二に、対角行列は、斜めの位置にだけ数が並ぶ特別な形で、計算をシンプルにしてくれます。第三に、これら二つの行列の違いを理解することで、なぜ特別な扱いをするのかが直感的に分かります。以下のセクションでは、定義、特徴、そして実際の演算でどう使い分けるのかを順番に見ていきます。読み進めるうちに、混同しやすいポイントも整理され、数学の見方が少しずつクリアになります。

単位行列とは何か？定義と特徴

まず最初に、単位行列について、定義と特徴を丁寧に確認します。n×nの行列Iを例にとると、対角成分すべてが1で、それ以外のすべての成分は0です。ここで大切なのは、行列とベクトルの積をとると、元のベクトルがそのまま返ってくるという性質、つまり「掛けると元に戻る」役割です。これは、線形代数で非常に基本的な働きをします。単位行列は、乗法の単位元であり、行列の演算を整理するための道具として常に登場します。

また、次元が変わっても単位行列はそのサイズに応じて存在します。例えば2×2なら対角に1、3×3なら対角に1といった具合です。
この性質は、行列のサイズが異なる問題を扱うときにも、共通の基準として働くため、学習の段階で必ず押さえておくべきポイントです。さらに、逆行列の存在条件といった高度な話題に触れる際も、単位行列の性質は核となります。

対角行列とは何か？定義と特徴

続いて、対角行列について説明します。対角行列とは、対角成分がそのまま斜めに並ぶ形で、他のすべての成分が0になっている行列のことを指します。つまり、i行j列の成分が0となるのは、iとjが等しくない場合だけです。対角行列は、演算をシンプル化する力が強く、特に行列の乗法や固有値の計算で便利な性質を持っています。実際、対角行列を掛けると、それぞれの対角成分だけが掛け算され、 off-diagonalの混乱を避けられます。

さらに、対角行列はベクトルとの掛け算にも規則性を与えます。例えば、対角行列をベクトルに掛けると、結果は各成分がその対角の値だけスケーリングされた新しいベクトルになります。これが「対角成分が乗数になる」という直感です。ここまでを押さえると、対角行列は「計算の効率化の鍵」として理解が深まります。

違いを押さえるポイント

ここまでで、単位行列と対角行列の定義と基本的な性質が見えてきました。では、両者の違いをまとめてみましょう。第一に「単位行列は全ての対角成分が1、その他は0」という厳密な形をしており、掛け算の単位元として機能します。一方で、対角行列は対角成分が任意の値を取り得る点が大きな特徴です。第二に、非対角成分が0であるという共通点はありますが、単位行列は特定のサイズで1が整然と並ぶのに対し、対角行列はサイズに応じて対角成分が変動します。

また、実務や学習の場面では「単位行列は演算の基準点」「対角行列は計算の効率化を図る形」という使い分けが基本です。これを意識するだけでも、行列の取り扱い方がグンと分かりやすくなります。最後に、演習で確認する重要ポイントとして、I×A=A、A×I=A、対角行列同士の乗法でも対角成分だけが掛け算されること、という二点を覚えておくと良いでしょう。

実践的な計算例と表

では、具体的な例で理解を固めます。単位行列I2と任意の2×2行列Aを掛けると、Aの形はそのまま保たれます。例えば、I2は[ [1,0],[0,1] ]で、Aは<そして掛け算の規則性を具体的に確認します。計算すると I2×A = A となり、A×I2 = A となることが確認できます。これが乗法の単位元としての性質です。
次に、対角行列D=diag(λ1,λ2)とAを掛けると、結果は対応する対角成分が掛け算される形になります。例えばD=diag(2,3)とA=[ [a,b],[c,d] ]なら、D×A=[ [2a,2b],[3c,3d] ]となり、対角成分のみがスケーリングされます。

このような性質を理解することで、ベクトルやデータの簡易変換を素早く考えられるようになります。

able>性質単位行列対角行列対角成分すべての対角成分が1対角成分は任意の実数非対角成分00ble>

この表は、違いをスッキリと比べるのに役立ちます。表を見れば、すぐに結論がわかります。なお、普段の授業ノートでは、これらの二つの行列を混同せず、定義と役割を分けて覚えることが効率的です。基本を固めることが、難しい問題を解く第一歩になります。

ピックアップ解説

友達と数学の雑談をしているときの話です。僕が『単位行列と対角行列、違いがはっきり分かると授業が楽になるんだよ』と言うと、友達は『どう違うの？』と質問してきました。僕は二つの本質をこんな比喩で説明しました。単位行列は“掛け算の虫眼鏡”のような存在で、どんな行列に掛けても形を崩さず、元のベクトルをそのまま返してくれます。一方、対角行列は“変換スイッチ”のように、対角線の成分だけを使って数を大きくしたり小さくしたりします。これを実際の計算で見ると、I×A=A、A×I=Aの性質と、対角行列を掛けると対角成分だけが掛け算される現象が、頭の中でピタリと結びつきます。

---