固有値と固有振動数の違いを徹底解説｜中学生にもわかるやさしいポイント

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固有値と固有振動数の基本を押さえよう

最初に大事なのは用語の意味を分けて覚えることです。固有値は「ある変換が自分を変えずに伸びたり縮んだりする度合いを表す特別な数」です。たとえば、線形変換を考えると、ある方向のベクトルをそのまま持ち上げたり縮ませたりする成分があり、それを表す数が固有値です。
固有振動数は、物体が外部の力を加えられずに自分で振動するときの「揺れの速さ」を表す値です。現実の世界で私たちが感じる自然な振動の速さを決める指標になります。
この二つは似ているようで別物です。固有値は数学の性質を表す数、固有振動数は物体の動きとして現れる現象を表す数です。機械の設計や建物の耐震設計では、固有値を求めて固有振動数を見つけることがよくあります。

1自由度のばね-質点系を例に考えると、運動方程式は m x'' + k x = 0 となります。解は x(t) = A cos(ω t + φ) で、ω = sqrt(k/m) が自然に現れる揺れの速さです。この ω が「固有振動数」です。別の見方として、系を状態方程式の形にすると、固有値 λ が現れ、λ = ± i ω の形で現れます。つまり固有値と固有振動数は互いに結びつきますが、同じものではありません。ここが「違い」の要点です。

要点のまとめ：固有値は数学の特性、固有振動数は物理の現象。現場では両方を使って、どんな振るえ方が起こるのかを予測します。
次の節から、日常の例と式を使ってさらに分かりやすく見ていきます。

身近な例で考える違いと関係性

机の上に小さなばねとおもりを置いて、手で軽く押してみると、しばらく静かに揺れ続けます。これが自然振動です。固有振動数はこの揺れの速さ、つまり何回揺れるかのリズムを決めます。実際には v = ω / (2π) で Hz という単位に直すこともあります。
一方で固有値はこの系を数式で書いたときに現れる特別な数です。例えば状態方程式を使って系を表すと、行列の固有値 λ が現れ、λ が ± i ω の形になることで、揺れの性質が決まります。ここが“数と現象”のつながりです。

図で想像してみましょう。堅い木の板をばねで吊るすと、板は力を受けたときに特定の速さで揺れます。このときの揺れ方は、固有ベクトルと呼ばれる方向に沿って、固有値（数値）と固有振動数（速さ）によって決まります。つまり、固有値がどう動くかが、固有振動数に直結しているのです。理科の授業で「方程式を解くと何が出てくるか」を想像すると、両者の関係が見えてきます。

このような考え方は、建物の耐震設計や車のサスペンション、楽器の音色を決める設計にも使われます。
例えばギターの弦を張る強さや太さを変えると、自然振動数は変わり、音の高さが変わります。これも固有振動数の一つの現れです。そして、背後にある数学的な“固有値の性質”を理解すると、なぜ同じ形の物でも素材や形を変えれば振るえ方が変わるのかが納得できます。

この節のポイントをもう一度整理します。

• 固有値は数学の特別な数で、系の変換の性質を決める。
• 固有振動数は物体が自然に揺れる速さで、単位は rad/s や Hz。
• 実際には ω^2 が固有値 λ に対応する形で、λ = -ω^2 や λ = ± i ω など、状況により表示が変わる。
• ばね-質点の例では ω = sqrt(k/m) で自然振動数を簡単に求められる。

この違いを押さえると、難しい数式も日常の現象に結びつく“道具”として理解できます。
次は実際の設計や応用の話題に触れて、さらに理解を深めましょう。

ピックアップ解説

ある日、友達とおしゃべりしていると、固有値って言葉が出てきた。教科書には“固有値は線形変換の特別な伸び方を表す数”と書いてあるけれど、僕たちはそれをもっと身近な例に置き換えて考えた。例えば、窓辺の風で揺れるカーテンを思い浮かべてみる。風の強さを少し変えると、カーテンは揺れ方を変える。そんな揺れの“強さの秘密”こそ固有値の核心かなと。もちろん現実の機械の世界では、固有値は単なる数字ではなく、振動の速さや安定性を決める重要な手がかりです。固有値を理解すると、どうして橋が震えにくくなるか、どうして車のサスペンションが滑らかに動くかという話にもつながります。だからこそ、固有値を勉強する意味は大きい。

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