LeanとPropの違いを徹底解説｜中学生にも分かるやさしい説明

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はじめに：LeanとPropの基礎を理解する

Leanは定理証明支援系と呼ばれる道具で、数学の命題を型として扱い、その命題が正しいことを示す“証明”を機械に作らせて検証します。
プログラムの作り方に似て、命題と証明を順番に組み立てていく感覚です。
Propは Lean の中の特別な Sort の一つで、命題そのものを分類する箱のような役割を果たします。
この二つを区別できれば、数学の考え方とプログラムの考え方の橋渡しがしやすくなります。
つまり Leanは「証明を作る道具」で、Propはその道具が扱う材料の一部を指す、というのが基本的なイメージです。
この理解が進むと、難しそうな定理の説明も、段階的に分解して考えられるようになります。
要点 Propは証明そのものを計算に使わないことが多く、計算上の効率を高める設計の要です。
Leanの公式ドキュメントや教材を読むと、型と命題の違いが徐々に見えてきます。
この段階では難しく感じても大丈夫です。ゆっくり基礎を固めていきましょう。

実践での違いを読み解くポイント

次に日常の使い方に絞って違いを見ていきます。
LeanのTypeとPropの関係は「命題を型として扱い、証明をその型の値として作る」という仕組みです。
つまり Prop は証明の内容自体を扱う箱のような役割を持ち、計算には直接影響しません。
この設計の良い点は、証明と実行の分離ができ、プログラムの動作と証明の検証を別々に最適化できる点です。
日常の例で言えば、難しそうな命題を小さな部品に分けて、部品ごとに「正しいこと」を証明する作業と、実際の計算を進める作業を別々に進められる点が大きな利点です。
表現の仕方も少し変わります。Lean で A → B のような命題を証明するには、A が成立したとき B も成立することを示しますが、Prop の証拠は計算結果には直接現れません。
この性質を活かすと、冗長な情報を削ぎ落とし、証明の総量を抑えて理解を深めることができます。
以下の表に特徴をまとめました。

able>特徴Leanの型・SortPropの性質役割命題を型として扱い証明を型の値として作る命題そのものを集める分類。計算には必ずしも関与しない計算性証明も計算の一部となる場合がある証明は計算には影響しにくい証明の扱い型に対応する証明が存在することを保証証明の中身の具体的な内容は実行時には使われない実用のコツ証明とプログラムの結びつきを意識して書く証明の冗長性を減らす戦略が効果的ble>

このように違いを知ると、 Lean を使うときの考え方が変わります。
もし興味がわいたら、簡単な命題を Lean に書いて証明してみてください。
最初は難しく感じても、段階を踏んで学べば必ず理解は進みます。
生活の中の小さな命題を題材に、型と証明の練習をしていくと自然とコツがつかめます。
最後に要点をまとめます。
Prop は証明の中身を計算に使わない設計を支える大事な性質、この点を覚えておくと Lean の学習がスムーズになります。
今後の学習を楽しんでください。

ピックアップ解説

私と友だちの雑談から始まりました。 Lean の Prop の話題で、彼は難しそうとつぶやきました。私はこう答えました。Propは証明そのものを集めた箱のようなもので、実際に動く計算には関係しない。だから煩雑な証明を見せるよりも、証明の核となるアイデアだけを整理できるのです。友だちは「なるほど、証拠は説明の役割であって計算の道具ではないのか」と言い、私たちは日記のように自分の理解を書き留めることにしました。こうした雑談は難しい専門用語を自分の言葉に置き換える練習になると感じました。 Lean と Prop のつながりを、今度は自分の身の回りの命題に当てはめて考えていこうと決意しました。

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