接続行列と隣接行列の違いを図解で徹底比較｜中学生にもわかる基礎から応用まで

---

接続行列と隣接行列の違いを徹底解説：図解と実例で学ぶ基礎の基礎

この章では、接続行列と隣接行列の違いを一から整理します。グラフ理論を学ぶ初学者にとって、似た言葉が混同を生みやすいポイントです。隣接行列は、頂点同士の「つながり」をそのまま表す道具で、行と列が頂点を表し、各マスには辺の有無を0か1で示します。対して、接続行列（インシデンス行列）は、頂点と辺の結びつきを表すため、列は『辺』を、行は『頂点』を指します。ここを混同すると、後でグラフに関する計算をするときに矛盾が生じやすくなります。

伝え方を変えると、隣接行列は「どの頂点が隣どうしなのか」をそのまま数で示すのに対し、接続行列は「どの頂点がどの辺につながっているか」を表します。結局のところ、同じグラフでも見方を変えると、できる計算や導出できる式が変わってくるのです。これを理解すると、グラフの問題が急に身近に感じられるようになります。

隣接行列は、経路の長さ、連結性、固有値計算など、グラフの幾何的な性質を扱う場面で直感的に使えます。特に、大きなグラフでの最短経路やパス数、連結成分の検出などはAを直接操作することで解けることが多いです。接続行列は、グラフの入出力・出力関係を扱う際や、ラプラシアン行列L = D − Aを作る際に重要です。Bを用いると、頂点-辺の関係を一次形式として扱えるため、線形代数的なアプローチがしやすくなります。これらの考え方は、グラフ理論だけでなく、ネットワーク・データ解析・機械学習の基盤としても活用できます。

以下の表で、両者の要点を一目で比較します。
ポイント: Aは辺の有無を直接表す、Bは頂点と辺の結びつきを表す。
表は無向・有向の違いにも言及しており、実務的な準備として頭の中で混同しやすい点を整理します。

able>項目隣接行列接続行列定義の視点頂点間の接続を0/1で表す頂点と辺の結びつきを0/1で表すデータの形n×nの行列（nは頂点数）n×mの行列（mは辺数）対称性無向グラフでは対称、有向では非対称になる場合がある一般には対称性の制約がない（辺の向きで変わる）代表的な用途経路長の計算、連結成分・スペクトル分析グラフの流れ・ラプラシアンの構築、特定の組の関係性の解析ble>

1. 基本の定義と違い

まず、隣接行列の定義を整理します。n個の頂点を並べたとき、n×nの行列Aで、Aijはi番目の頂点とj番目の頂点の間に辺があるときのみ1、なければ0をとります。無向グラフなら対称、有向グラフなら向きによって非対称になります。次に、接続行列の定義です。辺を列、頂点を行とする行列Bを作り、Bve=1（その辺eが頂点vに隣接しているとき）または方向付き場合は±1を用いることもあります。これらは最初のうちは混同しやすいですが、具体的な計算の目的を意識すると役割がはっきりしてきます。

違いを把握したうえでの利点も覚えておくと良いです。 隣接行列は、経路の長さ、連結性、固有値計算など、グラフの幾何的な性質を扱う場面で直感的に使えます。特に、大きなグラフでの最短経路やパス数、連結成分の検出などはAを直接操作することで解けることが多いです。 接続行列は、グラフの入出力・出力関係を扱う際や、ラプラシアン行列L=D−Aを作る際に重要です。Bを用いると、頂点-辺の関係を一次形式として扱えるため、線形代数的なアプローチがしやすくなります。これらの考え方は、グラフ理論だけでなく、ネットワーク・データ解析・機械学習の基盤としても活用できます。

以下の表で、両者の要点を一目で比較します。
ポイント: Aは辺の有無を直接表す、Bは頂点と辺の結びつきを表す。
表は無向・有向の違いにも言及しており、実務的な準備として頭の中で混同しやすい点を整理します。

2. 実際の使い方と図解

ここからは、具体的なグラフの例を使って違いを見える化します。小さなグラフを手元に描くと、隣接行列と接続行列の両方をどう作るかが一気に見えてきます。まず、3つの頂点をA, B, Cとして、辺ABとBCだけがつながっているとします。このとき、隣接行列はA=[ [0,1,0], [1,0,1], [0,1,0] ] のようになり、Aは対称であり、辺の有無をそのまま反映します。対して接続行列Bは、列に辺を立てて、行に頂点を立てる形になります。無向なら各辺に対して2つの1が並ぶ形で、頂点-辺の関係を直接読み取れます。これを使えば、特定の頂点から出る辺の集合や、辺をたどるときの頂点の影響を素早く計算に落とせます。

実務的な気づきとして重要なのは、Laplacian行列を作る際の考え方です。L = D − Aという式で、Aは隣接行列、Dは次数対角行列です。ここでAが正方行列かどうか、どのいわゆる「辺の数」が関係するかを把握しておくと、プログラムや数式が乱れにくくなります。もし有向グラフの性質を扱う場合は、入次数・出次数の行列を別々に扱うことが多く、接続行列の解釈がさらに役に立つ場面が増えます。これらの考え方は、グラフ理論だけでなく、ネットワーク・データ解析・機械学習の基盤としても活用できます。

まとめとして、隣接行列と接続行列は同じ“グラフを数で表す道具”ですが、見る視点が違うだけで使える道具箱が変わります。
学校の課題や部活動の分析、将来の学習の土台づくりとして、これらの違いを意識して使い分けることが大切です。

ピックアップ解説

今日は友だち関係の話題を借りて、隣接行列の深掘りを雑談風にしてみるね。AくんとBくんとCくんがいて、それぞれが“直接つながっているか”を表すとき、隣接行列は“誰と誰が直接友だちか”をその場のノートのように分かりやすく見せてくれる。例えばAとBが友だちならAの列とBの行に1が並ぶ。BとCがつながるときにはBとCの間にも1が増える。これが表の世界の基本だ。ところが接続行列は違う視点からやってくる。辺を軸にして、どの頂点がその辺の“仲介者”なのかを考える感じ。つまり同じグラフを見ても、隣接行列は“つながりの有無”を、接続行列は“どの頂点がどの辺を作っているか”を教えてくれる。新しい辺が増えると表の見え方も変わって、ネットワークの全体像を別の角度から想像できる。だから二つの視点を同時に持つと、数学の世界がぐっと身近になり、難しそうな話題も日常のつながりの延長線上に感じられるんだ。

---