ユニタリ行列と直交行列の違いを徹底解説｜実数と複素数の世界をわかりやすく比較

---

ユニタリ行列と直交行列の基本をしっかり押さえる

このセクションではユニタリ行列と直交行列の基本的な定義と意味を、日常の例えも交えながら丁寧に解説します。
まず大事な点は、どちらも「長さを保つ」「内積を保つ」という性質を持つということです。ただしその対象となる数の種類が異なります。
ユニタリ行列は複素数の世界、直交行列は実数の世界で語られることが多く、それぞれの演算子や転置の扱いも少しだけ違います。
この違いを理解するためには、複素共役転置と転置の意味を知ることが大切です。複素共役転置は、複素数の符号だけでなく、虚数部分の符号も反転させつつ転置する操作です。直交行列ではこの複素共役転置は必要ありません。
以下の節では、定義の核となる点、長さの保存の仕組み、そして実際の応用の観点から両者を比較していきます。これを読めば、数学の教科書だけでなく、物理やコンピュータの分野で「なぜこの矩阵が大事なのか」が見えてくるでしょう。

違いその1: 定義の核となる演算子が違う

ユニタリ行列の定義の核心は U^* U = I および U U^* = I です。ここで U^* は複素共役転置（conjugate transpose）を意味し、転置と同時に各成分の複素共役をとる操作です。
対して直交行列の定義は Q^T Q = I および Q Q^T = I です。ここで Q^T は転置だけをとる操作で、実数のみに対して語られる性質になります。
つまり「複素数を扱うかどうか」で使う演算子が異なるのです。
この差は一見小さく見えますが、後の性質や計算の安定性、そして応用の分野に大きな影響を与えます。
要点は、複素数を含む世界では複素共役転置が不可欠で、実数だけの世界では転置だけで十分になる、という点です。

違いその2: 長さと内積の保存の仕方

両者とも「長さ（ノルム）」を保つ性質を重視しますが、保存の仕方には微妙な違いがあります。
ユニタリ行列は任意の2つの複素ベクトル x, y に対して (Ux, Uy) = (x, y) が成り立つ、すなわち内積もノルムも保ちます。この性質は量子力学や信号処理など、データの「情報の量」を崩さずに変換する場面で重要です。
直交行列は実数ベクトルに対して同様のノルム保持をしますが、複素数を含む場合には共役転置を用いないと正しい内積の保存が表現できません。したがって複素数を含むデータを扱う場面では、直交行列は必ずしも内積を正確に保存しないことがあり、ユニタリ行列のほうが適切な場合が多いのです。
この違いは数値計算の安定性にも影響します。長さを保つ性質は、データの拡大・縮小を避け、変換後ももとの情報をできるだけ保つことを意味します。

違いその3: 応用の場面と具体例

実際の使われ方には大きな違いがあります。
ユニタリ行列は複素数を扱う分野での基盤となる道具です。例えば量子力学の状態ベクトルを回転させたり、量子ゲートの設計をするときに重要な役割を果たします。
一方、直交行列は実数だけを対象とする問題で広く使われます。3次元空間での回転を表現したり、画像処理での変換、3Dグラフィックスの計算など、身の回りの現象を実数だけで扱う場面で活躍します。
しかし現代のデータ科学では複素数を扱う場面も増えており、その時にはユニタリ行列が中心的な道具になることが多いのです。
このように「同じ長さを守る」という性質をもちながら、数の種類と応用先が異なるため、使われる場面も変わってきます。最後に、2次元のユニタリ行列や直交行列を例にとると、回転だけでなく位相の扱いまで考える必要がある点が両者の大きな違いとして見えてきます。

要点をまとめた比較表

able border="1">項目ユニタリ行列直交行列定義U^* U = I および U U^* = IQ^T Q = I および Q Q^T = I扱う数複素数保存する量ノルムと内積（複素数も含む）代表的応用量子力学、信号処理、複素系データの変換実用的な注意点複素共役転置が必須

ピックアップ解説

複素共役転置という難しそうな言葉を解く鍵は、結局のところ“複素数の正負符号と実数の転置を同時に扱う操作”だと理解するとスッと入ります。例えば、2次元の平面でベクトルを回すとき、実数だけなら転置で十分ですが、そこに虚数が混ざると長さや内積を正しく保つにはこの共役転置が必要になります。深掘りするほど、数の世界と幾何の世界がぴたりと噛み合う瞬間があります。

---